KIMIABLASS

Sabtu, 9 April 2011 - Bagi matematikawan, Srinivasa Ramanujan adalah tokoh yang mengesankan. Walau ia wafat di usia 32, matematikawan India menyumbang begitu banyak dalam teori bilangan. Beliau begitu cerdasnya sehingga setelah satu abad, barulah salah satu teka-tekinya terpecahkan oleh ahli komputer.

Setahun sebelum wafatnya di tahun 1920, Ramanujan memberi pernyataan mengenai konsep partisi. Konsep partisi sebenarnya sederhana. Partisi adalah jumlah pemotongan yang mungkin dari sebuah bilangan. Sebagai contoh, partisi dari 5 adalah 7, karena ada tujuh cara dimana lima dapat dibagi-bagi kedalam unsurnya yaitu:

5

1 + 1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 2

1 + 1 + 3

1 + 2 + 2

1 + 4

2 + 3

Matematikawan melambangkannya sebagai p(5) = 7. Kalau 6, ia punya 11 cara, sehingga p(6) = 11. Semakin tinggi bilangan yang akan dipartisi, semakin banyak pilihan partisi yang mungkin. Sebagai contoh, 100 dapat dipartisi dengan hampir 200 juta cara, tepatnya p(100) = 190,569,292 dan partisi dari 1000 adalah sebuah bilangan dengan 32 angka, alias puluhan juta triliun triliun.

Masalahnya, matematikawan tidak tahu rumusnya. Berabad-abad mereka mencari polanya.


Diagram Partisi mulai dari satu

Pernyataan Ramanujan

Ramanujan menemukan polanya. Menurut dakuan (klaim)nya:

Jika kita memulai dengan 9 dan terus menambahnya dengan lima, maka partisinya dapat dibagi lima. Contoh :

P(9) = 30

P(9+5) = p(14) = 135

P(14 +5) = p(19) = 490

P(19+5) = p(24) = 1,575

Ia mengatakan kalau pola ini akan terus berlanjut selamanya dan pola yang sama juga terjadi jika :
5 diganti dengan 7 atau 11, atau
Dua bilangan prima seterusnya, atau
Dengan pangkat 5, 7, atau 11.
Jadi, sebagai contoh, pasti ada tak terhingga selang 5^3 sedemikian hingga semua p(n) nya dapat dibagi 125.

Selanjutnya Ramanujan juga mengatakan :
Tidak ada sifat sederhana yang melibatkan bilangan prima yang lebih besar

Dengan kata lain, tidak ada barisan p(n) yang semuanya bisa dibagi 13, 17 atau 19 dst.


Teka-teki Terpecahkan
Sekarang polanya telah ada, tapi itu belum jadi rumus. Januari 2011, Ken Ono dari Universitas Emory dan kawan-kawannya berhasil menemukan rumusnya: mereka menemukan rumus yang menghubungkan n yang muncul pada interval pangkat dari 13 (13, 13^2, 13^3, dst) dan bilangan prima yang lebih tinggi. Rumus ini memang benar seperti kata Ramanujan, sifatnya tidak sederhana. Ia tidak mengatakan kalau p(n) bisa dibagi oleh pangkat dari 13, tapi mereka mengungkapkan hubungan pada sisa dari pembagiannya.

Untuk setiap bilangan prima, semakin tinggi pangkatnya, rumusnya berulang terus dan menunjukkan pola fraktal – struktur dimana pola dan bentuk berulang secara identik dalam skala yang berbeda-beda.

Penemuan lain yang juga diumumkan bulan Januari oleh Ono dan kawan-kawannya adalah apa yang dicari para matematikawan teori bilangan selama berabad-abad : rumus p(n) untuk semua n.

Manfaatnya

Jadi apa manfaatnya mati-matian mencari rumus matematika? Tidak tahu, kata George E. Andrews dari Pennsylvania State University. “Pemahaman matematika murni yang mendalam memerlukan waktu lama untuk diterapkan dalam hidup kita sehari-hari.”

Sumber :

Castelvecchi, D. 2011. Cracking a Century-Old Enigma. Scientific American, April 2011, p.24

Referensi Lanjut :
Ken Ono, Amanda Folsom, & Zach Kent (2011). l-adic properties of the partition function American Institute of Mathematics.
Ken Ono & Jan Bruinier (2011). AN ALGEBRAIC FORMULA FOR THE PARTITION FUNCTION. American Institute of Mathematics.